kasihsayangyangindah: Sifat Archimides

Salah satu sifat bilangan real yang penting adalah sifat Archimides. Penting karena banyak aplikasinya dalam matematika sendiri, misalnya pada teori ukuran, konstruksi bilangan hyperreal, mencari supremum atau infimum himpunan diskrit, dan lain-lain. Sifat Archimides mengatakan demikian,
Untuk setiap $x \in R$ terdapat $n_x \in N$ sedemikian sehingga $n_x > x$ .
Menurut saya sifat ini agak aneh meskipun mudah dilihat kebenarannya. Tetapi jika dibalik pun rasanya masuk akal, yaitu untuk setiap bilangan asli terdapat bilangan real yang lebih besar dari bilangan asli tersebut. Cuma pernyataan yang terakhir tidak tahu cara membuktikannya.
Bukti Sifat Archimides:
Andaikan pernyataan di atas salah, artinya terdapat $x_0 \in R$ sedemikian sehingga $x_0>n$ untuk setiap $n \in N$ . Ini berarti $x_0$ adalah batas atas himpunan $N$ . Karena $N$ terbatas di atas, maka menurut aksioma kelengkapan, himpunan $N$ mempunyai supremum. Misal $u = \sup N$ . Jelas bahwa $u-1<u$ , sehingga menurut definisi batas atas suatu himpunan terdapat $m \in N$ sedemikian sehingga $u-1<m$ , atau $m+1>u$ . Padahal $m+1 \in N$ . Hal ini kontradiksi dengan fakta bahwa u adalah supremum himpunan $N$ .
Salah satu akibat sifat Archimides adalah
Untuk setiap $0 < x \in R$ terdapat $n \in N$ sedemikian sehingga $0 < \frac{1}{n} < x$ .
Sifat di atas dapat dipakai untuk membuktikan bahwa $\inf \{ \frac{1}{n} : n \in N\} =0$ . Caranya begini: Jelas bahwa $0< \frac{1}{n}$ untuk setiap $n \in N$ . Ini artinya 0 adalah batas bawah himpunan $S = \{ \frac{1}{n} : n \in N\}$ . Dengan demikian, himpunan S dijamin mempunyai infimum. Tidak mungkin $u = \inf S < 0$ karena 0 adalah batas bawah S. Andaikan $u > 0$ , maka menurut akibat dari sifat Archimides, terdapat $n_0 \in N$ sehingga $\frac{1}{n} < u$ . Ini berarti terdapat anggota S yang lebih kecil dari u. Hal ini bertentangan dengan asumsi u adalah batas bawah (atau infimum) S. Jadi menurut sifat trikotomi haruslah $u = \inf S = 0$ .

kasihsayangyangindah

Sifat Archimides

0 komentar:

Posting Komentar

Blog Archive

Mengenai Saya